Kronecker coefficients: the tensor square conjecture and unimodality

We consider two aspects of Kronecker coefficients in the directions of representation theory and combinatorics. We consider a conjecture of Jan Saxl stating that the tensor square of the Sn-irreducible representation indexed by the staircase partition contains every irreducible representation of Sn. We present a sufficient condition allowing to determine whether an irreducible representation is a constituent of a tensor square and using this result together with some analytic statements on partitions we prove Saxl conjecture for several partition classes. We also use Kronecker coefficients to give a new proof and a generalization of the unimodality of Gaussian (q-binomial) coefficients as polynomials in q, and extend this to strict unimodality. Résumé. Nous considérons deux aspects des coéfficients de Kronecker dans le domaine de la Théorie des Représentations et le domaine Combinatoire. Nous considérons la conjecture suivante de Jan Saxl: le tenseur au carré de la représentation irréductible du groupe Sn indexée par la partition (k, k− 1, ..., 1) contient toutes les représentations irréductibles du groupe Sn (n = ( k+1 2 ) ). Nous présentons une condition suffisante qui permet de déterminer si une représentation irréductible est une constituante d’un tenseur au carré. En utilisant ce résultat avec des résultats analytiques sur les partitions, nous prouvons la conjecture de Saxl pour plusieurs classes de partitions. Nous utilisons aussi les coéfficients de Kronecker pour donner une nouvelle preuve et une généralisation de l’unimodalité des coéfficients de Gauss (q-binomiaux) comme polynômes en q et nous étendons cela à l’unimodalité stricte.